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  • Ensemble statistique grand canonique

    Formulaire de report


    Définitions


    \(\triangleright\) Définition d'un ensemble grand canonique

    L'ensemble grand canonique est un ensemble de \(N\) répliques d'un système maintenues à la température \(T=T_{thermostat}^*\) par un thermostat et au potentiel chimique \(\mu=\mu_{reservoir}^*\) par un réservoir de particule.
    Les ensembles grand canoniques sont des ensembles à \((T, \mu,V)\) constants.
    Fonction de partition

    Distribution


    \(\triangleright\) Probabilité dans un ensemble grand canonique

    La probabilité grand canonique de trouver le système dans l'état \(l\) est:
    $$P^G_l=\frac{e^{-\frac{(E_l-\mu N_l)}{kT} } }{Z}$$
    Avec:
    • \(Z=\sum_le^{-\frac{(E_l-\mu N_l)}{kT} }\): la Fonction de partition grand canonique

    Formules générales


    \(\triangleright\) Formules générales

    1. Fonction de partition

    $$Z(T,\mu,V,x)={{\sum_{N=0}^\infty e^{\frac{\mu N}{kT} }Z(T,N,V,x)}}$$
    Avec \(Z(T,N,V,x)\) la fonction de partition canonique.

    Grandeurs grand canoniques


    \(\triangleright\) Grandeurs grand canonique

    1. Grand potentiel

    $$J(T,\mu,V,x)={{-kTln(Z(T,\mu, V,x))}}$$
    1. Nombre moyen de particule

    $$\langle N\rangle ^G={{-\frac{\partial J}{\partial \mu} }}$$
    1. Energie moyenne

    $$\langle E\rangle ^G={{J+\left(\beta\frac{\partial J}{\partial\beta}-\mu\frac{\partial J}{\partial \mu}\right)}}$$
    $$\langle{E}\rangle ^G-\mu\langle{N}\rangle ={{-\frac{\partial ln(Z)}{\partial \beta} }}$$
    1. Entropie

    $$S^G={{-\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)_{\mu,V,x} }}$$
    1. Pression

    $$P^G={{-\left(\frac{\partial J}{\partial V}\right)_{\mu,T,x} }}$$

    Limite thermodynamique


    \(\triangleright\) Limite thermodynamique d'un système grand canonique

    A la limite thermodynamique, on considère la variable \(N\) comme une variable continue et toutes les variables internes prennent leur valeur la plus probable.
    1. Grand potentiel

    $$J(T,\mu, V,x)={{F(T,N_m,V,x)-\mu N_m}}$$
    1. Energie moyenne

    $$\langle E\rangle ^G={{F(,N_m,V,x)-T\frac{\partial F(T,N_m,V,x)}{\partial T} }}$$
    1. Entropie

    $$S^G={{-\frac{\partial F(T,N_m,V,x)}{\partial T} }}$$
    1. Pression

    $$P^G={{-\frac{\partial F(T,N_m,V,x)}{\partial V} }}$$
    Avec:
    • \(N_m\): la nombre le plus probable de particule dans le système d'étude

    \(\triangleright\) Equivalences avec les descriptions microcanonique et canonique à la limite thermodynamique

    A la limite thermodynamique, il y a des équivalences entre les grandeurs des différents Ensembles statistiques. Dans la limite thermodynamique le nombre de particule est égale à sa valeur moyenne (qui est également sa valeur moyenne).
    • L'énergie moyenne: \(\langle E\rangle ^G=\langle E\rangle ^C\)

    -L'entropie: \(S^G=S^C=S^*\)
    • La pression: \(P^G=P^C=P^*\)
    • Le potentiel chimique: \(\mu^C=\mu^*\)